U1+U2+…+Un
Ряд называется сходящимся, если существует предел частичной суммы, а если предел (n→∞)Lim Sn=S
Ряд расходится если предел не существует или равен бесконечности
Частичной суммой ряда называется эта вот хуйня. Sn=U1+U2+…+Un=(ot k=1 do ∞)∑Uk это сумма первых n -членов
Пример: 1/2+1/2*3+…+1/(n+1)*n+…
Sn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+….+(1/n – 1/n+1)
(n→∞)Lim Sn=1 ряд сходится
остатком ряда называется
rn=Un+1+Un+2+….=( ot k=n+1 do ∞)Uk-бесконечная сумма
Sn+rn-весь ряд
ряды с положытельными членами.
Ряды у которых все члены положителные называются положительными.
] U1+….+Un+… положительный ряд(1)
Un>0
Лемма Если частичная сумма п.р. ограниченна, то ряд сходится Sn=(k=1 Do n) ∑Un будем увеличивать n .С увеличением n Sn зрастает. Но по условию она ограниченна. Из теоремы, что всякая возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел, следует , что и Sn сходится.
Признак деламбера
(1) U1+U2+…+Un+….
Если (n→∞)Lim (Un+1/Un)=C<1< то ряд(1) сходится, если (n→∞)Lim (Un+1/Un)=C> 1 то ряд расходится.
Если (n→∞)Lim (Un+1/Un)=1, то сомнительный случай или признак наработает.
Доказательство
[ пусть выполняется это условие
(n→∞)Lim (Un+1/Un)=C<1
по определению предела последовательности имеем, что как только n>N так сразуже C-E<(Un+1/Un) < C+E.T.k. C<1, to можно выбрать E таким, что бы С+Е=q<1
тогда: Un+1<(C+E)Un=qUn
Un+1= qUn
Un+2 < qUn+1 < q^α *Un
Un+k < q^k * Un
Возьмём сложим левые и правые части неравенств Un+1+ Un+2+,,,+
Un=1/2^n
Un+1=1/2^n+1
(n→∞)Lim (Un+1/Un)=1/2