Функциональные ряды Равномерная сходимость

Функциональные ряды – это ряды каждый член которых функция
1) U1(x)+….+Un(x)+
a1x+a2x^2+…+anx^n
(к=1Do ∞)∑akcos(k*x)+bk sin kx
x=Xo, получается числовой ряд , если к-й сходится => Xo – точка сходимости Множество точек к сходимости образует область сх-ти числового ряда а≤х≤b или а≤х≤∞
Равномерная сходимость ряда
Функциональный ряд(1) наз равномерно сходящимся на отрезке [a,b] и интервале (a,b) если для ¥ Е>0 существует Ne зависящий от Е и не зависящий от x€[a,b] или (a,b), что при n>Ne => что остаток |rn(x)|кn(x)= (к=1+n do ∞)∑Uk(x)
Признак равномерной сходимости Вейерштрассе. Если члены функционального ряда по абсолютной величине не превосходят членов сх-ся числового ряда С1+С2+Сн+Ск>0 (2) ТО ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД СХОДИТЬСЯ РАВНОМЕРНО И АБСОЛЮТНО. (1) U1(x)+U2(x)+….
(3)| |U1(x)| < C1 …..|Un(x)| < Cn Док –во
(4) |U1(x)|+|U2(x)|+…+|Un(x)|
Остатки рядов 1- rn(x) 2-Rn 3-ρn(x)
Имеет очевидные нерав-ва : |rn(x)|< ρn(x)0
NE не зависит от х , а тогда в силу того, что |rn(x)|1) сумма равномерно сходящихся рядов из непрерывных Ф-ций есть ф-ция непрерывная S(x)= U1(x)+….+Un(x)+
Ф-ция называется непрерывной если предел её (Δx→0)Lim(S(x+ Δx)-S(x)=0
S(x+ Δx)= Sn(x+Δx)+rn(x+Δx)
S(x+ Δx)-S(x)= Sn(x+Δx)- Sn(x)+ rn(x+Δx)- rn(x)= ΔS(x)+ )+ rn(x+Δx)- rn(x)
(Δx→0)Lim ΔS(x)= (Δx→0)Lim ΔSn(x)+ (Δx→0)Lim rn(x+Δx)- (Δx→0)Lim rn(x)
1) (Δx→0)Lim ΔSn(x) сумма конечных непрперывных ф-ций есть ф-ция непр-я
по оределению ¥ ε/ 3>0 δ>0 , что как только |Δx|< δ => |Δ Sn(x)|< ε/ 3
2) (Δx→0)Lim rn(x+Δx) по условию ряд равномерно сходится и тогда существует NE, что n> NE =>| rn(x+Δx)|< ε/ 3
3) (Δx→0)Lim rn(x) ряд равномерно сходится, существует NE, что n> NE =>| rn(x)| < /ε/ 3 выбирем такие δ и макс N u N*, чтобы выполнялись все 3 условия. И тогда | Δ Sn+ rn(x+Δx)- rn(x)|<| Δ Sn|+| rn(x+Δx)|+| rn(x)|= ε/ 3+ ε/ 3+ ε/ 3= ε
2) равномерно сходящийся ряд можно почленно интегрировать, т.е. (от а до b)
∫ S(x)dx= (от а до b) ∫U1(x)dx+….+(от а до b) ∫Un(x)dx+…..(1)
авномерно сходится, т е для ¥ ε/b-a существует такой номер N, который не зависит от х, а зависит от ε/b-a, что как только n>N* ε/b-a, так сразу же остаток ряда |rn(x)|< ε/b-a
S(x)=Sn(x)+rn(x)
S(x)-Sn(x)=rn(x)
(n→∞)Lim(S(x)-Sn(x))=0
**(от а до b) ∫S(x)dx- (от а до b)∫ Sn(x)dx= (от а до b) ∫ rn(x)dx
(n→∞)Lim(от а до b) ∫ (S(x)- Sn(x)dx=0
(n→∞)Lim(от а до b)∫ Sn(x)dx=(от а до b) ∫S(x)dx на языке ε-δ и определении предела из ** имеем | (от а до b) ∫S(x)dx- (от а до b)∫ Sn(x)dx|=|(ot a do b)∫ rn(x)dx|<(ot a do b) ∫ |rn(x)|dx определения равномерной сходимости => существует N* ε/b-a, что n>N* ε/b-a=>|rn(x)|< ε/b-a
тогда (от а до b) ∫ | rn(x)| dx< ε/b-a (от а до b) ∫ dx= ε ЧТД
те Lim (от а до b)∫ Sn(x)dx=(от а до b)∫U1dx+..