ряды с положытельными членами

Ряды у которых все члены положителные называются положительными.
] U1+….+Un+… положительный ряд(1)
Un>0
Лемма Если частичная сумма п.р. ограниченна, то ряд сходится Sn=(k=1 Do n) ∑Un будем увеличивать n .С увеличением n Sn зрастает. Но по условию она ограниченна. Из теоремы, что всякая возрастающая и ограниченная последовательность имеет предел, следует , что и Sn сходится.
1 теорема сравнения для П.Р.
Рассм 2 ряда:
1) U1+U2+..+Un+…
2) V1+V2+…+Vn+..
Если выполняется нерав-во Vnдля n и ряд (1) сходится, то то сходится и ряд(2) . если сходится ряд с большими членами, то сходится ряд и сменьшими.
Доказательство из Un>Vn следует, что (к=1Do n) ∑Uк>(к=1Do n) ∑Vk≡Sn1>sn2
Перейдем к пределу Lim Sn1=S>(n→∞)Lim Sn2 Частичная сумма 2 ряда ограниченна и значит по лемме он сходится
Пример:
Un 1+1/2*3+1/3.4+….+1/(n-1)n +1/n(n+1)
Vn 1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2
Сходится
Имеем 1/n^2<1/n(n-1) => сходится Vn
2 теорема сравнения (предельная)
1) U1+U2+..+Un+…
2)V1+V2+…+Vn+..
Если (n→∞) Lim(Un/Vn)=C C≠0 C<∞, то оба ряда сходятся одновременно
Доказательство
Из определения предела последовательности(Un/Vn n=1.2.3.)следует, что последовательность имеетпредел (n→∞) Lim(Un/Vn)=C, это значит, если E>0 такой номер N, что как только n>N начиная с к-того l((Un/Vn)-C)l < E или С-Е < Un/Vn < С+Е
Возьмем такие n тогда
(С-Е)Vn < Un < (C+E)Vn N < n
из того что мы выкиним N членов ряда факт сходимости не измениться. Пусть (2) сходится тогда будет сходиться и ряд (C+E)Vn тогда в силу Un<(C+E)Vn и 1-ой теоремы сравнения будет сходиться и ряд (1)
] ряд расходиться тогда и ряд (С-Е)Vn будет рысходитьсяб тогда в силу (С-Е)Vn < Un будет расходиться и рая (1)