Y``+a1y`+a2y=0 L2(y)=0 (1)
Пусть y1 и y2 – частн.решение (1), тогда y1 и y2 считаются линейно независимыми, если C1y1+C2y2≠0? Не при каких C1^2+C2^2≠0 и линейно зависимыми, если C1y1+C2y2=0 (C1^2+C2^2≠0)
Пусть С2≠0, тогда y1и y2 линейно зависимы, если y2=Cy1, где С=С1/C2
Определитель Вронского для частных решений y1 и y2.
V(y1,y2)=|y1 y2| =y1y2`-y1`y2
|y`1 y`2|
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости частных решений линейных однородных д.у. яв-ся V(y1,y2)=0
Доказательство:
Необход: y1 и y2 линейно зависимы, т.е. y2=Cy1? Тогда V(y1,Cy1)=|y1,Cy1|=0
|y1`Cy1`|
Достаточн: Пусть V(y1,y2)=y1u2`-y1`y2=0 тогда:
y1y2`=y1`y2
d(y1/y2)/dx=(y1`y2-y2`y1)/y^2=V/y^2=0
y1/y2=const
y1=Cy2
Остроградского – Ме..вилля
Если в какой то точке V≠0, то в любой точке V≠0
Доказательство:
Пусть y1 и y2 линейнонезависимые честн. Решения, т.е. V≠0
y1``+a1y1`+a2y1=0| xy2
y2``+a1y2`+a2y2=0| xy1
y1``y2+a1y1`y2+ay1y2=0
y2``y1+a1y2`y1+a2y2y1
y1``y2-y2``y1+a1(y1`y2-y2`y1)=0 (y1``y2-y2``y1=dV/dx) (y1`y2-y2`y1)=V(y1,y2)=>
dV/dx=y1``y2+y1`y2`-y1`y2`-y2``y1`=y1``y2-y2``y1
=>д.у. первого пор-ка для орпред-ля Вронского
dV/dx+a1V=0
dV/V=a1dx=0
ln}V|=-a1x
V=Ce^-∫a1dx
Поставим закдачу Коши для V: V|x=x0=V0≠0? Тогда имеем решение: V=V0e^-∫a1dx – решение задачи Коши.
М(y1(x); y2(x))=V0-e^∫a1dx, т.е. V≠0 не при каких x.