Диференциальные уравнения высших порядков

Д.у. порядка 2 и выше наз-ся д.у. высших порядков
F(x,y,`…y^n)=0 n2 (1)
y^n=f(x,y…y^n-1) n2
yx=x0 =y0 - ЗАДАЧА КОШИ
f(x)=y`x=x0 =y0`
y^(n-1)x=x0=y0^(n-1)
Здача Коши.Общее и частное решение
y=(x,C1,C2…Cn) (3)
(3)-наз-ся общим решением. Оно удовлетворяет след. требованиям:
1) обращает д.у. в тождество
2) содержит n производных постоянных
3) удовлетворяет данным, где выполняется условие существования и единственности (задача Коши)
Линейное неоднородное уравнение n-го порядка.
(1) y^(n+a!)(x)y^(n-1)+…+an(x)y=f(x) – линейное неоднородное ур-ие, где a1,a2..an-ф-ция от x.
Ур-ие называется линейным, если ф-ция её произв. в 1-ой степени.
Линейные неоднородные ур-ия n-го порядка. Структура общего решения.
L2(y)=f(x)
Общее решение л.н.д.у. состоит из суммы общего решения линейного однородного д.у. и частного решения т.е.y=C1y1+C2y2+U(x)
L2(y1)=0
L2(y2)=0
L2(U)=f(x)
Доказательство:
1)Общее решение должно удовлетворять уравнению
L2(C1y1+C2y2+U)=f(x)
CL2(y1)+C2L(y2)+L(U)=f(x)
L(U)=f(x)
2)Выполняется 2 постоянных С1 и С2
3)удовлетворяет любым начальным данным
y|x=x0 =y0 y`(x=x0=y0`). Подставим C1y1+C2y2+U в начальные данные:
С1(y(x0))+C2(y2(x0))=y0-f(x0)-U(x0) – неоднор. сис-ма алгебраических ур-ий
C1y`1(x0)+C2y`2(x0)=y0`-f(x0)-U(x0) относительно С1 и С2
Её определитель=V(y1,y2)≠0? Тогда по т. Крамера эта система имеет единственное решение=> y=C1y1+C2y2+U – есть единственное решение.