Теорема о существовании и единственности задачи Коши

Диференциальные ур-ия высших порядков.
Д.у. порядка 2 и выше наз-ся д.у. высших порядков
F(x,y,`…y^n)=0 n2 (1)
y^n=f(x,y…y^n-1) n2
yx=x0 =y0 - ЗАДАЧА КОШИ
f(x)=y`x=x0 =y0`
y^(n-1)x-x0=y0^(n-1)
Теорема о существовании и единственности задачи Коши.
Если ф-ция f и ее частные производные по аргументам начиная с fy`,…fy^(n-1) непрерывна в окрестности точки x0,y0`,…y0^(n-1) то всегда существует решение, удовлетвор. (1) и (2) и это решение единственно
y=(x,C1,C2…Cn) (3)
Решение содержит 1,C2,…Cn котор. Нах-ся из начальных данных
(x0,C1,C2..Cn)=y0
f(x)=y`(x0,C1,C2…Cn)=y0` (4)
^(n-1) (x0,C1,C2..Cn)=y0^(n-1)
(3)-наз-ся общим решением. Оно удовлетворяет след. требованиям:
1) обращает д.у. в тождество
2) содержит n производных постоянных
3) удовлетворяет данным, где выполняется условие существования и единственности (задача Коши)
Метод понижения порядка д.у.
y^n=f(x)
∫y^(n)f(x)dx=y`^(n-1)=∫f(x)dx+C1
y^(n-2)=∫dx∫f(x)dx+C1x+C2
……………………………..
y=∫dx∫f(x)dx+C1x+Cn
пр:
1) y```=2cosx/sin^3x
y``=∫(2cos/sin^3x)dx=∫(2d(sinx))/sin^3x=2/(-2sin^2x)=-1/sin^2x+C
y`=-∫dx/sin^2x+Cdx=ctgx+C1x+C2
y=∫(ctgx+C1x+C2)dx=∫(cosx/sinx)dx+∫C1xdx+∫C2dx=ln|sinx|+C1x^2/2+C2x+C3
2)f-ция f(x) не содержит y y``=f(x,y)
делаем замену:y`=t,тогда t^(n-1)=f(x,t)t`…t^(n-2)
y``-φ`/x=0 y`=p
p`-p/x=0
dp-p/xdx=0 dp/p=dx/x
∫dp/p-∫dx/x
ln|p|=ln|x|+ln|C1|
p=C1x y=C1∫xdx=C1x^2/2+C2
dy=C1xdx
4)f не содержит x
y``=f(y,y`) в кач-ве независимой переменной возьмёмy, а в кач-ве функции p=y` y``=dy`/dx
p`=dp/dx=dp/dy dy/dx=pdp/dy=f(y,p) решаем ур-ие и получим:
p=φ(y,p)
dy/dx=φ(y,C1)
∫dy/φ()y,C1=dx∫dy/φ(y,C1)=∫dx φ(y,C1)=x+C2
yy11-2y`^2=0
y`=p
y(dp/dy)(dy/dx)-2p^2=0
yp(dp/dy)=2p^2 p=0, dy/dx=0, y=c
dp/2p=dy/y
1/2ln|p|=ln|y|+ln|C1|
1/2p=y^2C1
dy/dx=y^2C1dx
dy/2y^2=C1dx
1/y=C1x+C2