(1)L2(y)=y``+a1y`+a2y=0, a1 и a2 – числа
(2)y=e^kx. Подставляем (2) в (1):
e^kx(k^2+a1k+a2)=0
k^2+a1k+a2=0 – хар-ое уравнение.
Решаем квадратичным ур-ием:
K1,2=-a1/2±√a1^2/4-a2=-a1/2±(√a1^2-4a^2)/2
1)Корни k1 и k2 – вещественные и различн.
k1≠k2 – общее решение (1) есть y1=C1e^kx+C2e^k2x
2)Корни вещ-ые и равные
a1^1=4a2 k1=k2=k
y=C1e^kx+C2xe^kx
y2=y1∫(e^-∫a1dx/y1^2)dx=e^kx ∫e^∫(a1/2)dx/e^2kx=e^kx∫(e^2kx/e^2kx)dx=xe^kx
3)Корни комплексные и различные:
k1,2=n±im
(C1cosnx+C2sinmx)e^mx=y
y``+6y`+13y=0
k^2+6k+13=0
k1,2=-6/2±(√36-52)/2=-3±2i
y=e^-3x(C1cos2x+C2sin2x)
y^|4|-5y``+4y=0
k^4-5k^2+4=0
k^4-k^2-4k^2+4=0
k^2(k^2-1)-4(k^2-1)=0 k1,2=±1
(k^2-1)(k^2-4)=0 k3,4=±2
y=C1e^x+C2e^-x+C3e^2x+C4e^-2x