(1)L2(y)=y``+a1(x)y`+a2(x)y=f(x) – л.н.д.у. 2-го порядка
Общее решение (1) есть сумма общего решения L2(y) =0 =>C1y1+C2y2 и частное решение L2(U)=f(x)=>U-частное решение.
L2(y)=L2(C1y1+C2y2+U(x))=f(x)
C1L2(y1)+C2L2(y2)+L(U(x))=f(x)
Пусть каким-то способом мы нашли общее решение л.о.д.у.
С1y1+C2y2=y
Будем искать решение для U в виде U(x)=C1(x)y1+C2(x)y2 (2)
L2(y1)=0
L2(y2)=0
L2(y)=f(x) (1)
Подставим (1): и находим U`=C1(x)y1+C1(x)y1`+C2`(x)y2+C2(x)y2 (3)
Положим С1`(x)y1+C2`(x)y2=0
Найдём 2-ую производную: U``=C1`(x)y1`+C1`(x)y`+C2`(x)y2`+C2(x)y2`` (4)
Подставим (2), (3)(4) в (1) и сгруппируем члены при С1(x) и C2(x)
C1(x)(y1``+a1y1`+ a2y1)+C2L2(y2)+C1`(x)y1`+C2`(x)y2`=f(x)
C1`(x)y1+C2`(x)y2=0 - неоднородная система линейных алгебраических уравнений
C1`(x)y1`+C2`(x)y2`=f(x) относительно C1` и C2`
Определитель этой системы – определитель Вронского, он не равен о, т.к. частное решения линейно независимы.
Тогда част. Решение.
U=C1(x)y1-C2(x)y2
C1`(x)=|0 y1| / |y1 y2| пр: y``+y=ctgx y1=cosx - частное решение
|1 y2| |y1`y2`| y``+y=0 y2=sinx
|cosx sinx| = cosx^2+sinx^2=1
|-sinx cosx| Составляем систему:
U=C1(x)cosx+C2(x)sinx
C1`cosx+C2`sinx=0 |xsinx - система
-C1`sinx+C2`cosx=ctgx |xcosx
C2`sinx^2+C2`cosx^2=cosx^2/sinx
C2`=cosx^2/sinx
C2=∫(1-sinx^2/sinx)dx=∫dx/sinx-∫sinxdx=∫dt/t+cosx=lnt+cosx=ln(tgx/2)+cosx=C2
C1`cosx+C2`sinx=0
C1`cosx=(-cosx^2/sinx)sinx C1`=-cosx
C1=-sinx
Частные решения:
U(x)=sinxcosx+ln|tgx/2|sinx-sinxcosx
Y1=C1cosx+C2sinx+2sinxcosx+ln|tgx/2|sinx