Достаточное условие сходимости ряда Тейлора

Достаточным условием сходимости ряда Тейлора является бесконечная диффер f(x) и ограниченность производной ¥порядка от f(x) док-во
Rn(x)=f^n+1(c)/(n+1)!(x-a)^n+1
]|f(c)^n+1| < M | Rn(x)| < M|(x-f)^n+1| /n+1)! M>0 расм ряд
(x-a)+(x-a)^2/2!+…+.(x-a)^n/n!+(x-a)^n+1/(n+1)!
По признаку Деламбера (n→∞)Lim(x-a)^n+1/(n+1)!*(n!/(x-a)^n=(n→∞)Lim|(x-a)|/n+1=0<1 ряд сходится
А абсолютный член ряда стремиться к нулу
(n→∞)LimRn(x)=M(n→∞)Lim(x-a)^n+1/(n+1)=0
ряд Макларена для
f(x)=e^x e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^n/n!+e^c*x^n+1/(n+1)!- ф-ла Макларена
f^(n)(x)=e^x
f^(0)=1
e^x=1+x/1!+x^2/2!....
(x=1):(n→∞)Lim x^(n+1)* n!/ ((n+1)!*x^n)=0<1
a0+a1*x+…+an*x^n+A_n+1x^n=1
R=(n→∞)Lim(n=1)!/n!= ∞=(n→∞)Lim (an)/a_n+1
X=1 e=1+1+1/2+1/6+R4(x)=16/6+e^c/24
(e-8/3)=e^c/24<3/24=1/8
f(x)=sin(x)
f`(x)=cos(x)=sin(x+¶/2)
f``(x)=sin(x+2¶/2)
f^(n)(x)=sin(x+n*¶/2)
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!+…+(-1)^n8x^2n+1)/(2n+1)!