Степенные ряды
Общий выд:
(2)ao+a1x+…+anx^n+…
(3)bo+b1(x-a)+b2(x-a)^2+…+bn(x-a)^n+…
x-a=X bo+b1X+b2X^2+...
Определение радиуса сх-ти числового ряда Пользуются признаком Даломбера!
ao+a1x+…+anx^n+an+1x^n+1
D=(n→∞)Lim|( (an+1x^n+1)/ anx^n)<1 условие сходимости
|x|<=(n→∞)Lim(an/an+1|=R
Пример 1+x/1!+x^2/2!+…+x^n/n!+x^n+1/(n+1)!
R=(n→∞)Lim((n+1)!/n!)= =(n→∞)Lim(n+1)=∞ => сх-ся при всех х
X+x^2/2^2+….+x^n/n^2+x^n+1/(n+1)^2+.
R==(n→∞)Lim(n+1)^2/n^2=1
На границах интервала x=-+R сх-ть нужно проверить отдельно
Если х=1, то 1+1/2:2+,,+1/т:2+,, сходится по интегральному признаку)
Различные интервалы сходимости
-R ≤ x ≤ R
-R < x ≤ R
-R ≤ x < R
-R < x < r
Ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-….
-1 < x ≤ 1 ---- сходиться
x=1 1-1/2+1/3
x=-1 -1-1/2-1/3 -1-1/2-1/3
-1 < х ≤ 1
с-ва степенных рядов
1 сумма равномерно сх-ся степенного ряда есть ф-ция непрерывная это следует из теоремы о непрерывности суммы равномерносходящегося ряда из непрерывных ф-ций
2 степенные равномерносход-ся ряды можно почленно интегрировать.при R изм
ao*x+a1*x^2/2+…+an*x^n+1/n+1+an+1*x^n+2/n+2
R=(n→∞)lim|an|*n+2/((n+1)*|an+1|=(n→∞)lim |an/an+1|=R
3 равномерно сх-ся степенные ряды можно посленно дифференцировать. При этом радиус сх-ти не меняется и не надо не надо проверять факт сходимости, т.к. он не изменяется.
Default FixSim_112007