Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница.

U1-U2+….+(-1)^n+1 * Un Ui>0 i=123n
Если члены ряда убывают по абсолютной велсчине U1>U2>…>Un> И общий член ряда стремиться к нулю (n→∞)LimUn=0, то ряд сходится ДОК-ВО Запишем частичную сумму частного числа членов в таком виде:
S2n>0 S2n=(U1-U2)+(U3-U4)+..+(U2n-1 – U2n) каждая скобка положительная по условию. И с увеличением n сумма возрастает. S2n= U1-(U2 – U3)+…+(U2n-2 - U2n-1) – U2n < U1 S2nС другой стороны частичная сумма четногочисла членов ограниченна . S2n S2n=S рассм сумму нечет числа членов S2n+1= S2n+U2n + 1 перейдем к пределу. (n→∞)Lim S2n+1= (n→∞)LimS2n+ (n→∞)LimГ2n+1+S+0=S=>этот ряд сходится Следствие При замене знакочередующегося ряда его отрезком пгорешность замены по абсолютной величине меньше первого отброшенного члена по абсолютной величине. S=Sn+rN
S-Sn=rn S-Sn=Un+1(-1)^n+2+ +
gecnmUn+1-(Un+2-Un+3+….)
|S-Sn|=|rn| < Un+1