Нахождение частного решения
Ln(y)=f(x) (1)
Пусть Ln(y)=0, (2) y1,y2,y3…yn линейно независимые части решения(фундаментальная система решений)
C1y1+C2y2+…+Cnyn – общее решение (2)
Общее решение (1) есть C1y1+C2y2+…+Cnyn+U(x) а U(x) – частн. Решение(1)
U(x) для (1)находится методом Лагранжа
C1`y1`+C2`y2`+…+Cn`yn`=0
C1`y1`+C2`y2`+…+Cn`yn`=0
C1`y1^(n-1)+C2`y2^(n-1)+…+Cnyn^(n-1)=f(x)
Если правая часть имеет спец. Вид, то частное решение находится более простым путём:
1)f(x)=Qn(x) Qn(x) – полином n-ой степени
k=0 – не является корнем хар-го ур-ия.
Ln(x)=0 k^n1a1k^(n-1)+…+an=0? Тогда частное решение ищется в виде
U(x)=Qn(x) с неизвестн. коэф-ми находится методом неопределённых коэфициентов.
Пр: y`` - 7y`+12y=2
λ =3 λ=4
1) λ=0, не корень
U(x)=A(x)+B
U`(x)=A U``(x)=0
-7A+12Ax+12B=x
12A=1
-7A+12B=0
U(x)=1/12x+7/144
yобщ=1/12x+7/144+C1e^3x+C2e^4x
2)k=0 – корень хар-го уравнения кратности z в виде Pn=x^2Qn(x)
пр: y``-y`=3 λ^2- λ=3 λ1=0 λ2=1
yодн=C1+C2e^x
Pn(x)=Ax A=-3
Pn`(x)=A U(x)=-3x
Pn^n(x)=0 yобщ=С1+С2e^x-3x
2) f(x)=Qn(x)e^ λx
a)k= λ – не является корнем хар-го уравнения
L(y)=0 т.е. C1k+C2k^(n-1)+…+Cn=0
Частн. Решение ищем в виде:U=Pn(x)e^dx и коэф. Pn(x) находится методом неопред. коэфициентов.
Пр:
Y``-2yy=b^2x yодн=C1e^x+C2xe^x
λ=2- не корень U(x)=e^2xA
U`(x)=2Ae^2x
U``(x)=4Ae^2x
4Ae^2x-4Ae^2x+Ae^2x=e^2x
A=1
U(x)=e^2x
yобщ=C1e^x+C2xe^x+e^2x
б)k= λ – корень хар-го уравнения
L(y)=0 кратности 2 частное решение ищем в виде U=Pn(x)e^2x x^r
3)U=P(x)x^2e^2x
y``-2y`+y=e^x
k^2-2x+1=0
(k-1)^2=0
k1,2=1
U=ae^xx^2
U`=2axe^x+ax^2e^x
U``=2ae^x+2axe^x+2aexe^x+ax^2e^x=ax^2e^x+4axe^x+2ae^x
2ae^x=e^x
a=1/2
Ur=(e^xx^2)/2
U=C1e^x+C2e^x+ (e^xx^2)/2
4)f(x)=Um(x)cos(nx)+tp(x)sinnx, m и n – целые числа
a)±in – не является корнями хар-го ур-ия.
Частное решение ищем в виде ур-ия: U(x)=Pt(x)cosnx+Rt(x)sinnx1? Где t максимум из t и p.
U(x)подставим в л.н.д.у. с коэфициентами полинома Pt и Rt отдельно приравниваются при sin(ni) и cos(ni)
y``-y=3cosx
k^2-1=0
k=±1
i – не корень ур-ия
U(x)=acosx+bsinx
U`(x)=-asinx+bcosx
U``(x)=-acosx-bsinx
Acosx-bsinx-acosx-bsinx=3cosx
-2acosx-2bsinx=3cosx
a=-3/2 U=-3/2cosx
b=0
б) ±in – корень кратности n
решение ищется в виде:
U(x)=(Ptcosnx+Rtsinnx)x^τ
4)f(x)=(Qn(x)cosnx+Tpsinnx)e^2x
а) ±in – не является корнем хар-го ур-ия
Решение ищется в виде:
U(x)=(Ptcosnx+Rtsinnx)e^2x x^τ.